1 实验主义视角的因果推断

没有操纵就没有因果. 我们关心什么, 就把什么作为干预的对象. 例如

• 如果我们关心阿斯匹林的效果, 干预就是是否服用阿斯匹林
• 如果我们关心肥胖对寿命的影响, "干预"就是不同的 BMI (这算一个非良定的干预, 因为它没有显式进行干预, 例如健康饮食、锻炼这样的减少 BMI 的方式)

2 输出结果的记号方式

考虑一个实验有 ${\displaystyle n}$ 个实验单元: ${\displaystyle i=1,\cdots ,n}$. 令 ${\displaystyle 1}$ 为实验组, ${\displaystyle 0}$ 为对照组. 对每个单元 ${\displaystyle i}$, 它来自两个组中的一个, 所以我们只能观察到 ${\displaystyle Y_i(0),Y_i(1)}$ 中的一个.

无干预假设可能会被社交网络或者传染性疾病破坏; 一致性假设可能会被具体的干预的种类影响(例如香烟的品牌, 大学教育的专业等). 我们可以用表格 (潜在结果表, science table) 表示这些结果

定义 因果效应(causal effect) 为 $${\tau }_i=Y_i(1)-Y_i(0).$$ 但是我们只能观测到 ${\displaystyle Y_i(1)}$ 和 ${\displaystyle Y_i(0)}$ 中的一个, 因此直接研究 ${\displaystyle {\tau }_i}$ 比较困难. 为此我们首先定义 平均因果效应(ACE, average causal effect) 为 $$\tau =\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n[Y_i(1)-Y_i(0)]=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{Y}_i(1)-\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{Y}_i(0).$$

2.1 因果效应 子组 Yule-Simpson 悖论的不存在性

如果我们用二元变量 ${\displaystyle X_i}$ (取值 ${\displaystyle 0,1}$) 定义两个子组, 可以定义子组的因果效应为 $${\tau }_x=\frac{\sum _{i=1}^n\mathbf{1}\{X_i=x\}[Y_i(1)-Y_i(0)]}{\sum _{i=1}^n\mathbf{1}\{X_i=x\}},x=0,1.$$
它代表两个子集中因果效应分别的平均值. 如果记 ${\displaystyle {\pi }_x=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\mathbf{1}\{X_i=x\}}$, 则 $$\tau ={\pi }_1{\tau }_1+{\pi }_0{\tau }_0.$$ 也即每部分的平均值乘以每部分的占比. 如果 ${\displaystyle {\tau }_1,{\tau }_0>0}$, 则 ${\displaystyle \tau >0}$, 符号一致, 这说明 Yule-Simpson悖论 不能发生在因果效应这一统计指标中.

2.2 实验单元定义的微妙之处

实验单元和实际的物理单元可以不一样. 例如, 一个人服用阿斯匹林前头痛, 服用后头不痛, 这里实际上是 两个 实验单元 ${\displaystyle i,\mathrm{before}}$ 和 ${\displaystyle i,\mathrm{after}}$. 因此我们有四个可能的结果: $$Y_{i,\mathrm{before}}(0)=0,Y_{i,\mathrm{before}}(1)=?,Y_{i,\mathrm{after}}(0)=?,Y_{i,\mathrm{after}}(1)=1.$$ 这里我们观察到两个, 丢失两个. (可能不服药头痛也会消失, 或者服药后头依然痛)

2.3 分配实验组的机制

记 ${\displaystyle Z_i}$ 是单元 ${\displaystyle i}$ 的是否分配到实验组的标志, 记 ${\displaystyle Z=(Z_1,\cdots ,Z_n)}$, 则 ${\displaystyle i}$ 的观测结果是$$\begin{array}{rl}{Y}_i& =\{\begin{array}{rl}& Y_i(1),Z_i=1,\\ & Y_i(0),Z_i=0\end{array}=Z_i{Y}_i(1)+(1-Z_i)Y_i(0)\\ & =Y_i(0)+Z_i(Y_i(1)-Y_i(0))=Y_i(0)+Z_i{\tau }_i.\end{array}$$
而与之相对的是缺失结果: $$Y_i^{\mathrm{mis}}=\{\begin{array}{rl}& Y_i(0),Z_i=1,\\ & Y_i(1),Z_i=0\end{array}=Z_i{Y}_i(0)+(1-Z_i)Y_i(1).$$